تركيب تناسب طلايی يا توالی فيبوناچی

در ریاضیات سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که بصورت زیر تعریف می‌شود:

غیر از دو عدد اول اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آید. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از:

۰٬ ۱٬ ۱٬ ۲٬ ۳٬ ۵٬ ۸٬ ۱۳٬ ۲۱٬ ۳۴٬ ۵۵٬ ۸۹٬ ۱۴۴٬ ۲۳۳٬ ۳۷۷٬ ۶۱۰٬ ۹۸۷٬ ۱۵۹۷٬ ۲۵۸۴٬ ۴۱۸۱٬ ۶۷۶۵٬ ۱۰۹۴۶٬ ۱۷۷۱۱
این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده‌است.

هنرمندان قديمی برای اضافه نمودن حس توازن و شكوه به يك صحنه ، مجسمه يا بنا  مدتها از تركيب تناسب طلايی استفاده كرده‌اند . تركيب مزبور يك تناسب رياضی بر اساس نسبت  1.618/1  بوده و در اغلب مواقع در طبيعت ، مثلا در صدف‌های دريايی و الگوی دانه‌های گل آفتاب‌گردان و يا ساختار هندسي بازوهای ميله‌ای كهكشانهای مارپيچي موجود در كيهان يافت می‌شود . امروزه سرنخ‌هايي از اين نسبت طلايي در نانو ذرات ( شاخه نانو تكنولوژي ) بدست آمده است . در واقع هم در عالم خرد و هم در عالم كلان اين تناسب بخوبي قابل شناسايي است . به هر حال به كار بردن اين نسبت در طراحی‌هاي دستي و رشته‌هاي هنري كار راحتی نمی‌باشد ، براي اينكه هرگز نمی‌توان به مركز دوران مارپيچ رسيد و اين نقطه ، مركزی  نامعلوم و غير قابل دسترس است و تا بي‌نهايت ادامه مي‌يابد . به علت سهولت در ترسيم‌ها و كارهاي عملي ، نسبت  1.6/1 در نظر گرفته می‌شود .

تناسبات فیبوناچی

عكس‌هاي فوق مربوط به صدف‌هاي دريايي ، حلزون شنوايي گوش ، يك گردباد و يك كهكشان است .

مستطيل طلايی ويژه

دنباله فيبوناچي و عدد طلايي چيست ؟

لئوناردو فيبوناچي ايتاليايي تبار اهل پيزا حدود سال 1200 ميلادي مساله‌اي طرح كرد : فرض كنيد كه يك جفت خرگوش نر و ماده در پايان هر ماه يك جفت خرگوش نر و ماده جديد به دنيا بياورند … اگر هيچ خرگوشي از بين نرود ، در پايان يك سال چند جفت خرگوش وجود خواهد داشت ؟ البته در اين مسئله مي‌بايست قواعد و اصول فرضي و قراردادي زير مراعات شوند !

” شما یك جفت خرگوش نر و ماده دارید كه همین الآن متولد شده‌اند .
خرگوشها پس از یك ماه بالغ می‌شوند .
دوران بارداری خرگوشها یك ماه است .
هنگامی كه خرگوش ماده به سن بلوغ می‌رسد حتما باردار می‌شود .
در هر بار بارداری خرگوش ماده یك خرگوش نر و یك ماده مي‌زايد .
خرگوش‌ها تا پايان سال نمی‌میرند . “

او براي حل اين مسئله به يك سري از اعداد يا بهتر است بگوييم به يك دنباله رسيد كه عبارت بود از … ,0،1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 كه در اين دنباله هر عددي ( به غير از صفر و يك اول ) حاصل جمع دو عدد قبلي خودش مي‌باشد ، به طور مثال 3+5=8 يا 1+2=3 و …..

علت بر اينكه در پايان ماه اول ، جفت اول به بلوغ مي‌رسد و در پايان ماه دوم بعد از سپري كردن يك ماه بارداري ، يك جفت خرگوش متولد ميشود كه جمعا دو جفت خرگوش خواهيم داشت ، در پايان ماه سوم جفت اول يك جفت ديگر به دنيا مي‌آورد ولي جفت دوم به پايان دوران بلوغ خود ميرسد كه در كل سه جفت خواهيم داشت در پايان ماه چهارم جفت اول و جفت دوم وضع حمل مي‌كنند و تبديل به چهار جفت ميشوند و جفت سوم به بلوغ مي‌رسد و در كل پنج جفت خواهيم داشت و الي آخر كه در پايان ماه دوازدهم تعداد 233 جفت خرگوش خواهيم داشت .

توسعه هندسي اين دنباله يا سري از اعداد :

اين مستطيل را ، مستطيل فيبوناچي نيز مي‌نامند .

براي رسم مارپيچ طلايي يا فيبوناچي از راس ( گوشه ) هر مربع يك كمان به شعاعي برابر ضلع آن مربع رسم مي‌كنيم . به اين مارپيچ بدست آمده ، اسپيرال لگاريتمي هم گفته ميشود .

در رسم فوق دنباله را از عدد 20 شروع كرده‌ايم يعني سري اعداد 20،20،40،60،100 ، در واقع نسبت عرض مستطيل به طول آن را 1.6/1 در نظر گرفته‌ايم . رسم فوق توسط نرم‌افزار اتوكد رسم و با دقت 100.000.000/1 اندازه گذاري شده است و طريقه رسم به حد كافي واضح و روشن مي‌باشد و نكته جالب توجه اينكه براي رسم مارپيچ به اين روش ، مي‌بايست هفت كمان رسم شود كه عدد صحيح 12 براي شعاع كمان پنجم بدست مي‌آيد . مركز هر كمان با علامت جمع مشخص شده است .

به‌طور خلاصه با در نظر گرفتن تقاطع‌هايي كه خطوط با زاويه قائمه يكديگر را قطع كرده‌اند ، ميتوان مستطيل و مارپيچ طلايي فيبوناچي را در رسم توسعه يافته ستاره داوود رسم نمود . همانطور كه مشخص است اختلاف بسيار جزيي اين رسم با رسم قبلي مشاهده ميشود آنهم در كمانهاي 5 ، 6 ، 7 به علت تغيير جزيي در قطرهاي آبي رنگ و در تناسبات هندسي اختلافي وجود ندارد ، كه دال بر اين موضوع است كه تناسب طلايي در رسم ستاره داوود توسعه يافته جاري مي‌باشد و در مباحث بعدي توضيح خواهيم داد كه كليه موجوداتي كه در آنها تناسبات طلايي ديده ميشود ، تناسب خود را مديون اين ترسيم‌ها و ساختارهاي هندسي در ستاره داوود توسعه يافته هستند .

روش جبري براي بدست آوردن عدد طلايي :

مستطيلي به عرض 1 واحد و طول x را در نظر مي‌گيريم مسلما x بزرگتر از 1 مي‌باشد .

اينك بايد مقدار x را چنان تعيين كنيم ( بدست آوريم ) كه اگر مربعي به ضلع 1 واحد را از اين مستطيل جدا نماييم ، مستطيل بدست آمده كوچكتر ، متناسب مستطيل بزرگتر قبلي باشد ، يعني x/1=1/(x-1) a به بيان ساده‌تر ، نسبت طول به عرض مستطيل اول برابر نسبت طول به عرض مستطيل بدست آمده ( ‌مستطيل دوم ) باشد كه با ضرب صورت در مخرج طرفين تناسب ، يك معادله درجه 2 بدست مي‌آيد يعني x²-x-1=0 و با ريشه‌يابي اين معادله به ريشه‌هاي 1.6180 و 0.6180- دست مي‌يابيم .

روشهاي هندسي براي بدست آوردن عدد طلايي :

اگر يك مثلث متساوي‌الاضلاع رسم كنيم ( مثلث بنفش ) و از مركز آن دايره‌اي رسم كنيم تا از سه راس آن مثلث عبور كند ( دايره‌ نارنجي ) و وسط دو ضلع مثلث را يافته و پاره خطي از آن دو نقطه تا محيط دايره ، رسم كنيم دو پاره خط با نسبت طلايي بدست مي‌آيد ( پاره خط زرشكي و سرخ آبي ) يعني

69.2820323/42.81865077=1.61803398………..

رسم زير روش ديگري براي رسم مستطيل طلايي ويژه و تناسبات طلايي ، و همچنين بدست آوردن عدد طلايي را نشان مي‌دهد .

جهت رسم يك مستطيل طلايي به نسبت عدد طلايي ابتدا يك مربع به ضلع يك واحد كشيده سپس طبق شكل فوق وسط ضلع پاييني اين مربع را پيدا مي‌كنيم . سپس يك قوس با شعاعي به اندازه وسط ضلع پاييني مربع تا گوشه سمت راست بالا مي‌كشيم تا طول مستطيل معلوم شود .

در رسم فوق يك دايره را به پنج قسمت مساوي تقسيم مي‌كنيم . اگر اين نقاط را به نقاط مجاور خود وصل كنيم ، مسلما يك پنج ضلعي منتظم خواهيم داشت . اينك اگر نقاط را دو به دو به هم متصل كنيم يك ستاره پنج پر كه در داخل آن يك پنج ضلعي منتظم ديگر قرار دارد ، حاصل ميشود . در اين وضعيت پاره خط قرمز به همراه پاره خط بنفش يك تناسب طلايي را نشان مي‌دهند و به اين دليل مهم ستاره پنج پر براي چشم بيننده ، شكل هندسي خوش‌آيند و جذابي است كه بيانگر اين موضوع ميباشد كه نسبت طلايي در ساير سيستم‌هاي شمارش اعداد نيز آشكار ميشود و اين ساختار مربوط به اعداد مرموز ( 2 ، 4 ، 6 ) ميشود .

در رسم فوق يك دايره را به هشت قسمت مساوي تقسيم مي‌كنيم . اگر اين نقاط را به نقاط مجاور خود وصل كنيم ، مسلما يك هشت ضلعي منتظم خواهيم داشت . اينك اگر نقاط را دو به دو ، چهار به چهار و شش به شش به هم متصل كنيم دو مربع تو در تو حاصل ميشود . رسم سبز رنگ مربوط به معماري و هنرهاي اسلامي ميشود كه برگرفته از مسجدالاقصي يا قدس هشت وجهي است .

منبع: www.ki2100.com

http://www.goldennumber.net/

Arti.ir